VERSCHILTOON OF PERIODICITEITSTOON, DAT IS DE KWESTIE
André Lehr
Als U ooit, geachte lezer, in een klokkengieterij een reeks beiaardklokken opgesteld ziet staan, vraag dan een klepel en geef vervolgens in een redelijk hoog tempo ferme tikke op de achtereenvolgende klokken. Ongetwijfeld hoort U dan een mooie chromatische reeks. En dat verwachtte U ook. Maar goed luisterend hoort U bovendien, althans bij de kleinere klokken, een diepe toon als het ware meewandelen, een toon die maar liefst een octaaf en een grote terts onder de grondtoon van elke klok ligt, een grote deciem der halve. En dat gaat heel netjes, althans als de klokken goed gestemd zijn. Reeds Giuseppe Tartini (1692 1770) had kunnen vertellen wat er aan de hand was. Deze Italiaansecomponist en muziektheoreticus had namelijk omstreeks 1714 de verschiltoon ontdekt, want dat is namelijk die zoemtoon.
De verschiltoon is een eenvoudig te begrijpen verschijnsel. Stel wij hebben een stemvork met toon a1, dus met een frequentie van 440 Hz. Stel wij hebben een tweede stemvork die een kwint hoger klinkt, dus met toon e2 en een frequentie die 3/2 maal hoger is, dus 660 Hz. De verschiltoon is dan 660 – 440 = 220 Hz en dat is precies één octaaf lager dan de a1. Slaat men beide stemvorken voldoende krachtig aan, dan hoort men derhalve niet alleen de a1 en e2, doch bovendien aklein, dus a0.
| Interval | Verschiltoon | Verhouding |
| kleine erts | c4 es4 as1 | 6:5 |
| grote terts | c4 e4 c2 | 5:4 |
| kwart | c4. f4 f2 | 4:2 |
| kwint | c4 g4 c3 | 3:2 |
| grote sext | c4 a4 f3 | 5:3 |
| octaaf | c4 c5 c4 | 2 : 12 |
Tartini ontdekte het verschijnsel op de viool. Daarom stelde hij in zijn in 1754 verschene Trattato di Musica bij wijze van experiment voor om tussen twee violisten te gaan zitten en hen allerlei intervallen te laten spelen. Er zullen dan verschiltonen te horen zijn volgens de tabel. Daaruit blijkt bovendien dat die lage zoemtoon in klokken klaarblijkelijk ontstaat uit priem en kleine terts. Maar er is meer dat tijdens het aanslaan van de klokken de aandacht trekt. U zult name lijk ook nog opmerken dat de toonhoogte waarop U de klokken op het moment van aanslag ervaart, de zogenoemde slagtoon, niet die van de grondtoon of een van de boventonen is. Toch is er een hechte relatie met een van de boventonen. De toonhoogte van de slagtoon blijkt namelijk altijd één octaafinterval lager te zijn dan de octaafboventoon. Om dit nader toe te lichten wenden wij ons tot de tweede tabel. In de eerste kolom wordt de gebruikelijke namen voor de boventonen van de klok gegeven. De tweede kolom geeft de ideale klok, de octaafklok zoals die sinds de zeventiende
eeuw in beiaarden wordt gebruikt. De derde kolom heeft het gebruikelijke beeld van talloze historische luidklokken. Maar niet van alle, want de derde kolom geeft de toonstructuur van de Van Wou klokken uit 1505 op de Domtoren van Utrecht. Wanneer wij ons vervolgens tot de slagtoon in de laatste rij wenden, dan ziet men het opmerkelijke feit dat deze drie klokken alle dezelfde slagtoon bezitten, namelijk een c2. Deze valt bij de tweede en derde klok met geen enkele boventoon samen. In feite is de slagtoon dan ook een virtuele toon die in het klankspectrum niet valt aan te tonen, doch daarin wél zijn oorsprong vindt. De slagtoon wordt namelijk in ons gehoor gevormd. Wij komen daar nog op terug.
| Toonbenamking | Toonhoogte |
| Grondtoon | c1 c1 bes0 |
| Priem | c2 b1 cis2 |
| Kleine terts | es2 es2 es2 |
| Kwint | g2 fis2 gis2 |
| Octaaf | c3 c3 c3 |
| Duodeciem | g3 g3 g3 |
| Dubbeloctaaf | c4 c4 c4 |
| Slagtoon | c2 c2 c2 |
Aanvankelijk was er overigens verwarring over de vraag in welk octaaf de slagtoon voorkomt. In het twee gestreept octaaf of wellicht in een ander? Want de Utrechtse klokkenist Jacob van Eijck beweerde in 1633 tegenover zijn vrienden dat de slagtoon, die hij slach noemde, identiek is aan de. octaafboventoon, dus in het drie gestreept octaaf. Ook François Hemony was die mening toegedaan. In 1879 was het echter de Engelse natuurkundige Lord Rayleigh (1842 1919) die aan de hoogst onzuivere klokken van zijn landgoed Terling vaststelde dat de slagtoon precies een octaafinterval onder de octaafpartiaal ligt. De bekende octaafregel was daarmee geboren. En hij schreef vervolgens:
The reader will not be more surprised at this conclusion than I was, but there seems to be no escape from it. Inderdaad, want deze conclusie is sindsdien nooit meer aangevochten! Maar begrijpen deed Rayleigh het niet. Een probleem was geboren, want tot ver in de jaren zestig van
de twintigste eeuw zou de slagtoon het meest onbegrepen fenomeen van de campanologie blijven. Vele onderzoekers zochten een verklaring, waaronder het idee dat de slagtoon in feite een verschiltoon zou zijn. Maar voor het zover was, deden allerlei andere verklaringen de ronde. Wij zullen ze in het kort opsommen.
De benediktijner pater Johannes Blessing beschouwt op het einde van de negentiende eeuw de slagtoon als een samengestelde toon, want een enkele partiaal kan nooit zo sterk als de slagtoon zijn. Het is overigens een steeds weerkerende vraag hoe de felle slagtoon uit de zachter klinkende boventonen kan voortkomen. Pas veel later zou onomstotelijk blijken dat bij de vorming van de slagtoon inderdaad meerdere boventonen betrokken zijn. Vervolgens maakte muziekleraar en klokkenadviseur Karl Walter het in 1913 wel heel erg bont. Zijns inziens zou het binnenste van de klok, en dan in het bijzonder de slagring, door de binnen en de buitenkant van de klok in de frequentie van de slagtoon worden samengedrukt en weer ontspannen. Hij dacht dus aan een compressietrilling. Maar waarom? Zij theorie verdween roemloos in de geschiedenis. Iets minder bont maakte het kanunnik Peter Griesbacher (1864 1933) te Regensburg, alom bekend en hooggeacht kerkcomponist en tevens klokkenexpert voor Beieren. Want hij had ontdekt dat wanneer met een stemvork de priem gezocht wordt, dus de boventoon die in de buurt van de slagtoon ligt of daarmee zelfs kan samenvallen, bij die zoektocht de aangeslagen stemvork niet alleen de priem laat horen. doch ook ‘ein eigenartiges, kleinkaliberiges, dünnäderiges, oktavierendes und […] quicksendes Klangwesen.’ Nochtans, het zo wollig beschreven verschijnsel had alles met falende meettechniek te maken en werkelijk niets en dan ook helemaal niets met de slagtoon. Wij zullen er niet verder op ingaan, want ook Griesbacher moest met zijn hypothese het campanolo
gisch veld ruimen. Neen, het was een probleem voor natuurkundigen en niet voor musici zoals de geschiedenis zou bewijzen!
De eerste natuurkundige die naar de oorsprong van de slagtoon zocht, was de Amerikaan Arthur Taber Jones (1876 1950). Het zou hem vele jaren bezighouden, van 1920 tot 1937. Toch zat er in dat onderzoek nauwelijks enige progressie, want al in 1920 had hij zijn basisideeën geformuleerd. Voor zijn onderzoek gebruikte hij een voorslag van twaalf klokken die de Amerikaanse klokkengieter Meneely in 1919 had gegoten. De zwaarste van de reeks was een es1 met een gewicht van 1375 kg. Die klokken waren overigens extreem vals, onder andere met een grondtoon die maar liefst een kleine terts
te hoog was. In feite waren het dan ook sextklokken. Maar de slagtoon trok zich daar niets van aan, want die lag heel netjes één octaafinterval onder de boventoon het octaaf. Opvallend was echter dat ook de boventonen octaaf, duodeciem en dubbeloctaaf keurig in de pas liepen. Bovendien viel op dat die tonen tijdens de aanslag fel klonken en op dat moment de grondtoon en priem bijvoorbeeld in sterkte overtroffen. Lag daar de sleutel tot de oplossing? En dit temeer omdat dit verschijnsel niet alleen bij deze klokken voorkwam? Ook tabel 2 laat zien dat elke klok de reeks c3 – g3 – c4 bezit. Maar dat is niet verwonderlijk, want die boventonen bezitten vrijwel dezelfde natuurkundige kenmerken, reden waarom ze een hecht drietal vormen zodat de onderlinge intervallen slechts weinig kunnen wijzigen. Vervolgens kan men aan de hand van de eerder gegeven tabel met verschiltonen gemakkelijk vaststellen dat de boventonen c3 – g3 als verschiltoon een c2 hebben, terwijl het tweetal g3 – c4 die eveneens heeft. Kennelijk is die slagtoon c2 een verschiltoon! Het probleem leek opgelost, maar nauwkeurige metingen van Jones logenstraften dat. De verschiltoon bleek namelijk in zijn klokken door geringe onderlinge afwijkingen tussen genoemde drie boventonen bijna een kwarttoon hoger te zijn dan de slagtoon. De hypothese van de verschiltoon werd door Jones verworpen. Maar wat dan? Jones kwam met een verklaring die het probleem in feite verlegde, ofschoon dat ge
voelsmatig minder het geval leek. Jones immers vermoedde dat de slagtoon een octaaf vergissing is. De boventoon octaaf bepaalde weliswaar de toonhoogte van de klok maar omdat daar nog vier tonen onder liggen, zou het gehoor zich telkens weer vergissen met het octaaf waarin die toonhoogte gehoord wordt. Of het hem helemaal bevredigde? Het lijkt van niet, want in latere jaren probeerde hij de theorie van de verschiltoon opnieuw, zij het wederom zonder enig resultaat. Ook andere onderzoekers deden dat, zoals de Duitsers Erwin Meyer en Johannes Klaes in 1933. Zij echter lieten zich misleiden, want de klok waarop zij de verschiltoontheorie beproefden, had toevallig de toonstructuur waarin de slagtoon en de verschiltoon vrijwel samenvielen. Jones echter liet zich niet misleiden en beproefde daarom andere verklaringen. Zo zocht hij het ontstaan van de slagtoon in het feit dat tijdens de aanslag de klepel heel snel op het klokoppervlak danst, en wel in een frequentie die gesynchroniseerd leek op de halve frequentie van de boventoon het octaaf. Later zou de Nederlander Bert van Heuven (1918 1976) dit in zijn proefschrift uit 1949 overnemen. Maar ook die hypothese werd
tenslotte verworpen. Toch was de oplossing van het vraagstuk toen al tien jaar eerder geformuleerd. Gaan wij daarvoor naar Eindhoven. In 1939 werd op de Lichttoren aan de Emmasingel te Eindhoven een elektronische voorslag gemonteerd. Deze had vier tonen die gevormd werden door veren zoals die ook wel in pendules wordengebruikt. Hun klank werd elektrisch versterkt en bereikte de voorbijgangers derhalve via forse luidsprekers. Maar zij ergerden zich aan de valsheid van een van de veren. Op dat moment werd de toen nog jonge onderzoeker dr. Jan Schouten (1910 1980) erbij gehaald Hij immers hield zich als Philipsmedewerker bezig met allerlei muzikale en onmuzikale klanken. Allereerst gaf hij naar goed klokgebruik elke veer een naam. Het werden Jumbo, Jericho, Johannes en Judas, waarbij het duidelijk moge zijn dat Judas de valserik was. En de reden leek al snel duidelijk.Hadden namelijk de goede veren onder hun boven tonen de relatieve reeks c2 g2 c3, een combinatie die door de luisteraar op toonhoogte c1 werd
gehoord, Judas had die fraaie reeks geenszins. En vandaar, zo leek het, had Judas een onduidelijke, valse toon.Kwam hier de verschiltoonhypothese weer tevoorschijn? Op dezelfde wijze als dat bij een klok van kracht scheen? Schouten echter zocht in een fundamenteel andere richting.
Om dat te begrijpen lijkt het goed allereerst een uitstapje te maken naar een toren van waaruit twee luidende klokken te horen zijn. Stel dat de ene klok 60 aanslagen per minuut maakt tegen de andere 65. Het gevolg is dat wanneer beide klokken gelijktijdig starten, ze gaandeweg uit elkaar zullen lopen om na verloop van tijd toch weer bij elkaar uitkomen, dus op hetzelfde moment weer aangeslagen worden. Gemakkelijk is uit te rekenen dat die periode 12 seconden duurt, waarin de grootste 12 aanslagen maakt en de kleinste 13 aanslagen. De klokken samen hebben derhalve een periodiciteit van 12
seconden. Een aanbevolen experiment! In Schoutens theorie is die periodiciteit het centrale thema. Want iets dergelijks kan ook bij tonen optreden, dat derhalve de frequenties van twee gelijktijdig klinkende tonen een overkoepelnde periodiciteit vormen waarvan de frequentie eveneens als een toon wordtervaren, ja zelfs dé toonhoogte van de tweeklank vormt. Een voorbeeld van die periodiciteitstoon moge dit verduidelijken.Stel wij hebben drie tonen met frequenties die zich verhouden als 3:5:7. Stel dat de laagste van het drietal een a1 van 440 Hz is. Dan zijn de twee andere 733,33 Hz en
1026,67 Hz. Of in tonen a1, fis2 en c3 waarbij zij opgemerkt dat bij de laatste twee kleine afwijkingen zijn weggelaten. De verschiltoon is voor elk tweetal 293,33 Hz of wel d1. De gemeenschappelijke periodiciteit is echter 146,67 Hz of wel d0. Die periodiciteit kan men bijvoorbeeld vinden door naar de grootste gemene deler van de drie frequenties te zoeken, dus het grootste getal waardoor de frequenties gedeeld kunnen worden metals voorwaarde een geheel getal als uitkomst. Wanneer men vervolgens de drie tonen gelijktijdig laat klinken en men zoekt naar de toonhoogte van deze samenklank, dan doet zich een verrassing voor. Want het is niet de verschiltoon d1 maar de periodiciteits toon d0. Met deze ontdekking oogstte Schouten aanvankelijk weinig succes. Op een lezing tijdens het Internationaal Beiaardcongres in 1972 te Rotterdam, zei hij daarover:
It [zijntheorie] is published just before the war. Nobody read it and the people who did read it, did not like it and so, that was that. Toch zou het deze theorie zijn die tenslotte het slagtoonfenomeen wist te verklaren. Het drietal octaaf c2, duodeciem g2 en dubbeloctaaf c3, heeft namelijk als periodiciteitstoon c1. Daaruit blijkt natuurlijk niet dat de verklaring met de periodiciteitstoon boven die met de verschiltoon gesteld moet worden. Beslis
send was echter dat de waargenomen slagtoon altijd precies samenviel met de bereken de periodiciteitstoon en niet met de verschiltoon. Stond de beiaardwereld te juichen? Geenszins. Pas in 1959 toen Schouten in contact kwam met Joseph Pfundner, klokkengieter te Wenen, zou dat geleidelijk aan veranderen ofschoon Pfundner flink doordraafde. Het ontlokte Schouten zelfs de opmerking dat deze plus royaliste que le roi was. Maar in 1965 volgde het echte keerpunt want toen hield Schouten voor het Nederlands Akoestisch Genootschap een lezing over dit onderwerp inclusief elektronische geluidsdemonstraties. De laatste tegenstanders gaven zich toen gewonnen. Niet lang daarna sprak niemand meer over de slagtoon. Het probleem was
opgelost en verdween daarmee uit ieders gezichtsveld.
Literatuur:
André Lehr,
Geschiedenis der Campanologie (Nationaal Beiaardmuseum, 2000).